Question

設(shè)P是雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為左右兩個(gè)焦點(diǎn)，在△PF₁F₂中，令∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β，則tan

α

2

÷tan

β

2

的值為（　�。�

• A、

  1

  3

• B、3-2

  2

• C、3
• D、與P的位置有關(guān)的變數(shù)

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：三角函數(shù)的求值,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先利用正弦定理求得：

|PF1|

sinβ

=

|PF2|

sinα

=

|F1F2|

sin(α+β)

，進(jìn)一步利用等比性質(zhì)和三角關(guān)系時(shí)的變換求得：asin

α+β

2

=csin

β-α

2

，最后通過展開式求出tan

α

2

÷tan

β

2

=

c-a

c+a

，再利用雙曲線中a、b、c的關(guān)系求的結(jié)果．

解答： 解：在△PF₁F₂中，令∠PF₁F₂=α，∠PF₂F₁=β
利用正弦定理：

|PF1|

sinβ

=

|PF2|

sinα

=

|F1F2|

sin(180°-α-β)

則：

|PF1|

sinβ

=

|PF2|

sinα

=

|F1F2|

sin(α+β)

sin(α+β)

sinβ-sinα

=

|F1F2|

|PF1|-|PF2|

=

c

a

asin

α+β

2

=csin

β-α

2

asin

α

2

cos

β

2

+acos

α

2

sin

β

2

=csin

β

2

cos

α

2

-ccos

β

2

sin

α

2

(a+c)sin

α

2

cos

β

2

=(c-a)cos

α

2

sin

β

2

tan

α

2

÷tan

β

2

=

c-a

c+a

由于雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1
求得：a=2，b=2

3

，c=4
所以：tan

α

2

÷tan

β

2

=

c-a

c+a

=

1

3

故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)：正弦定理的應(yīng)用，等比性質(zhì)的應(yīng)用，角的和差恒等變換關(guān)系式，a、b、c、的關(guān)系變換，及相關(guān)的運(yùn)算問題．