Question

已知函數f（x）=e^x-x（e是自然對數的底數）
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Π）不等式f（x）＞ax的解集為P，若，且M∩P≠∅，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）已知，是否存在等差數列a_n和首項為f（1）公比大于0的等比數列b_n，使數列a_n+b_n的前n項和等于S_n．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）求導f'（x）=e^x-1由f'（x）=0，解得x=0，易知當x＞0時，f'（x）＞0當x＜0時，f'（x）＜0故f（x）在x=0處取得最小值．
（Ⅱ）M∩P≠∅，即不等式f（x）＞ax在區(qū)間有解，轉化為在區(qū)間有解，只要求得的最大值即可．
（Ⅲ）先設存在公差為d首項等于f（1）的等差數列a_n和公比q大于0的等比數列b_n，使得數列a_n+b_n的前n項和等于S_n
由，再由數列通項與前n項和之間的關系求解，若能求和d和q則為存在，否則為不存在．
解答：解：（Ⅰ）f'（x）=e^x-1
由f'（x）=0，解得x=0
當x＞0時，f'（x）＞0
當x＜0時，f'（x）＜0
故f（x）在（-∞，+∞）連續(xù)，故f_min（x）=f（0）=1
（Ⅱ）∵M∩P≠∅，即不等式f（x）＞ax在區(qū)間有解，
f（x）＞ax可化為（a+1）x＜e^x只需在區(qū)間有解
令
即a＜g_max（x）∵故g（x）在區(qū)間遞減，在區(qū)間[1，2]遞增
又
，且
∴
所以，實數a的取值范圍為

（Ⅲ）設存在公差為d首項等于f（1）的等差數列a_n
和公比q大于0的等比數列b_n，使得數列a_n+b_n的前n項和等于S_n
∵
b₁=f（1）=e-1
∴，故
又n≥2a_n+b_n=S_n-S_n-1=e^n-1（e-1）-
故n=2，3，有
即d+（e-1）q=e（e-1）-1①2d+（e-1）q²=e²（e-1）-2②
②-①×2得q²-2q=e²-2e解得；q=e或q=2-e（舍去）
故q=e，d=-1
此時，數列a_n+b_n的前n項和等于
故存在滿足題意的等差數列a_n金額等比數列b_n，使得數列a_n+b_n的前n項和等于S_n
點評：本題主要考查用導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零，還考查了不等式有解或恒成立問題，以及數列的通項與前n項和及其關系．