Question

13．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}+lnx$在區(qū)間（1，2）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，2）．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a＜x²+x在（1，2）恒成立，令g（x）=x²+x，x∈（1，2），根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
若f（x）在（1，2）遞增，
則x²+x-a＞0在（1，2）成立，
即a＜x²+x在（1，2）恒成立，
令g（x）=x²+x，x∈（1，2），
則g′（x）=2x+1＞0，
則g（x）在（1，2）遞增，
故g（x）_min=g（1）=2，
故a＜2，
故答案為：（-∞，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問(wèn)題，是一道中檔題．