Question

18．已知函數(shù)f（x）=sin²x+asinx+3-a，x∈[0，π]．
（1）求f（x）的最小值g（a）；
（2）若f（x）在[0，π]上有零點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的值域，二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，求得f（x）的最小值g（a）．
（2）由題意可得sinx≠1，a=$\frac{{sin}^{2}+3}{1-sinx}$，令t=sinx∈[0，1），則a=$\frac{{t}^{2}+3}{1-t}$，顯然函數(shù)a在t∈[0，1）上單調(diào)遞增，由此可得a的范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin²x+asinx+3-a=${（sinx+\frac{a}{2}）}^{2}$-$\frac{{a}^{2}}{4}$+3-a，
∵x∈[0，π]，∴sinx∈[0，1]，
當(dāng)-$\frac{a}{2}$＜0時(shí)，即a＞0時(shí)，則sinx=0時(shí)，f（x）取得最小值g（a）=3-a；
當(dāng)0≤-$\frac{a}{2}$≤1時(shí)，即-2≤a≤0時(shí)，則sinx=-$\frac{a}{2}$時(shí)，f（x）取得最小值g（a）=-$\frac{{a}^{2}}{4}$+3-a；
當(dāng)-$\frac{a}{2}$＞1時(shí)，即a＜-2時(shí)，則sinx=1時(shí)，f（x）取得最小值g（a）=4．
綜上可得，g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{3-a，a＞0}\\{-\frac{{a}^{2}}{4}+3-a，-2≤a≤0}\\{4，a＜-2}\end{array}\right.$．
（2）∵x∈[0，π]，∴sinx∈[0，1]，由f（x）=0，可得sin²x+3=（1-sinx）•a，
當(dāng)sinx=1時(shí)，此等式不成立．
故有sinx≠1，a=$\frac{{sin}^{2}+3}{1-sinx}$，
令t=sinx∈[0，1），則a=$\frac{{t}^{2}+3}{1-t}$，顯然函數(shù)a在t∈[0，1）上單調(diào)遞增，
故當(dāng)t=0時(shí)，a=3；當(dāng)t趨于1時(shí)，a趨于正無窮大，故a≥3．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的值域，考查了二次函數(shù)最值的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．