Question

4．在等差數(shù)列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，其前n項和為S_n．
（1）求S_n的最小值，并求出取S_n的最小值時n的值；
（2）求T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列通項公式列出方程組求出首項和公差，由此求出前n項和，從而能求出S_n的最小值時n的值．
（2）由a₁=-60，d=3，得a_n=3n-63≥0，得n≥21．從而n≤21時，T_n=-S_n，n＞21時，T_n=-S₂₁+S_n，由此能求出T_n．

解答 解：（1）∵在等差數(shù)列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，其前n項和為S_n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+15d+{a}_{1}+16d+{a}_{1}+17d=-36}\\{{a}_{1}+8d=-36}\end{array}\right.$，
解得a₁=-60，d=3，
∴S_n=-60n+$\frac{n（n-1）}{2}×3$=$\frac{3}{2}$（n²-41n）=$\frac{3}{2}（n-\frac{41}{2}）^{2}$-$\frac{5043}{8}$，
∴當n=20或21時，S_n的最小值為-630．
（2）∵a₁=-60，d=3，
∴a_n=-60+（n-1）×3=3n-63，
由a_n=3n-63≥0，得n≥21．
∴n≤21時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-S_n=-$\frac{3}{2}{n}^{2}+\frac{123}{2}n$，
n＞21時，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=-S₂₁+S_n=$\frac{3}{2}{n}^{2}-\frac{123}{2}n+1260$．
∴${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{3}{2}{n^2}+\frac{123}{2}n，n≤21}\\{\frac{3}{2}{n^2}-\frac{123}{2}n+1260，n＞21}\end{array}}\right.$．

點評 本題考查等差數(shù)列的前n項和最小時項數(shù)n的求法，考查前n項和絕對值的和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．