Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³lnx+ax³+b，（x＞0）在x=1處取極值，其中a，b為常數(shù)
（1）求a的值
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間$[\frac{1}{e}，e]$上沒有零點，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)f′（1）=0，求出a的值檢驗即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間，從而求出f（x）的范圍，解關于b的不等式，求出b的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²lnx+x²+3ax²，
由題意得：f′（1）=0，a=-$\frac{1}{3}$，
經(jīng)檢驗符合題意，
故a=-$\frac{1}{3}$；
（2）f（x）=x³lnx-$\frac{1}{3}$x³+b，（x＞0），
∴f′（x）=3x²lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞1，
令f′（x）＜0，解得：x＜1，
∴f（x）在（$\frac{1}{e}$，1）遞減，在（1，e）遞增，
又f（1）=-$\frac{1}{3}$+b，f（e）=$\frac{{2e}^{3}}{3}$+b，
f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{4}{{3e}^{3}}$+b，f（e）＞f（$\frac{1}{e}$），
∴x∈[$\frac{1}{e}$，e]時，f（x）∈[-$\frac{1}{3}$+b，$\frac{{2e}^{3}}{3}$+b]，
由題意得：-$\frac{1}{3}$+b＞0或$\frac{{2e}^{3}}{3}$+b＜0，
故b＞$\frac{1}{3}$或b＜-$\frac{{2e}^{3}}{3}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用，是一道中檔題．