Question

若B（-8，0），C（8，0）為△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，AC、AB兩邊上的中線和是30，求△ABC重心G的軌跡方程．

Answer 1

分析：先設(shè)G點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），以BC所在的直線為X軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．根據(jù)重心分中線比為2：1可知BG+CG=

2

3

（BE+CD）=

2

3

×30，根據(jù)橢圓的定義可知G點(diǎn)的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓，且除去軸上兩點(diǎn)．進(jìn)而求得橢圓的a，c和b得到G的軌跡方程．

解答：解：如圖，設(shè)CD、BE分別是AB、AC邊上的中線，則CD+BE=30，又G是△ABC的重心，
∴BG=

2

3

BE，CG=

2

3

CD，
∴BG+CG=

2

3

（BE+CD）=

2

3

×30=20．
又B（-8，0），C（8，0），∴BC=16＜20=BG+CG，
∴G點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，
∴2a=20，2c=16，即a=10，c=8，
∴b²=a²-c²=10²-8²=36，
∴G點(diǎn)的軌跡方程是

x2

100

+

y2

36

=1．

點(diǎn)評：本題主要考查了軌跡方程的問題．本題解題的關(guān)鍵是利用了橢圓的定義求得軌跡方程．