Question

已知f（x）=2sin（

π

3

x+

π

6

），集合M={x||f（x）|=2，x＞0}，把M中的元素從小到大依次排成一列，得到數(shù)列{a_n}（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}滿足：b 1=1，bn+1=bn+a2n，求{b_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由|f（x）|=2，可求得x，再由x＞0可得集合M，從而可得a₁，a₂，a₃，…，易判斷其構(gòu)成等差數(shù)列，從而得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）累加法：當n≥2時，b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁，由bn+1-bn=a2n可求得b_n，再檢驗n=1時是否適合該式即可；

解答： 解：（1）由|f（x）|=|2sin（

π

3

x+

π

6

）|=2，得sin（

π

3

x+

π

6

）=±1，
即

π

3

x+

π

6

=kπ+

π

2

，k∈Z，∴x=3k+1，k∈Z，
又x＞0，所以M={x|x=3k+1，k∈N}，
由題設(shè)a₁=1，a₂=4，a₃=7，…，依次組成公差為3的等差數(shù)列，
所以數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=3n-2，n∈N^*；
（2）當n≥2時，
b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=a2n-1+a2n-2+…+a21+b1
=3（2^n-1+2^n-2+…+2）-2（n-1）+1
=3•

2(1-2n-1)

1-2

-2（n-1）+1
=3•2ⁿ-2n-3，
當n=1時，上式亦適合，
所求{b_n}的通項公式為bn=3•2n-2n-3(n∈N*)．

點評：本題考查數(shù)列遞推式、等差等比數(shù)列的通項公式及等比數(shù)列的前n項和公式，考查三角函數(shù)等有關(guān)知識，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．