Question

函數(shù)y=e^x-x+1，x∈[-1，2]的值域?yàn)?!--BA-->

 

．

Answer 1

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)并且判斷利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性，即可單調(diào)函數(shù)的最小值，再求出定義域的兩個(gè)端點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值，進(jìn)行比較大小即可得到答案．

解答：解：由題意可得：函數(shù)y=e^x-x+1，
所以y′=e^x-1，
因?yàn)閤∈[-1，2]，
所以當(dāng)x∈[-1，0]時(shí)y′=e^x-1＜0，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，y′=e^x-1＞0，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為[0，2]，減區(qū)間為[-1，0]，
所以當(dāng)x=0時(shí)函數(shù)有最小值2．
當(dāng)x=-1時(shí)，y=2+

1

e

，當(dāng)x=2時(shí)，y=e²-1，顯然e2-1＞2+

1

e

，
所以函數(shù)的最大值為e²-1．
所以函數(shù)的值域?yàn)閇2，e2-1]．
故答案為[2，e²-1]．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值得到函數(shù)的值域．