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設橢圓C1：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）以F1、F2為左、右焦點，離心率e=
1
2
，一個短軸的端點（0，
3
）；拋物線C2：y2=4mx（m＞0），焦點為F2，橢圓C1與拋物線C2的一個交點為P．
（1）求橢圓C1與拋物線C2的方程；
（2）直線l經過橢圓C1的右焦點F2與拋物線C2交于A1，A2兩點，如果弦長|A1A2|等于△PF1F2的周長，求直線l的斜率．
（1）由橢圓的離心率e=
c
a
=
1
2
，得
c2
a2
=
a2-b2
a2
=
1
4
，∴a2=
4
3
b2．
又b=
3
，∴a2=4，則a=2，c=1．
∴橢圓C1的方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．
拋物線C2的焦點為（1，0），∴m=1，則拋物線方程為：y2=4x；
（2）由于△PF1F2周長為 2a+2c=6，故弦長|A1A2|=6，
設直線l的斜率為k，則直線l的方程為 y-0=k（x-1），
代入拋物線C2：y2=4x，化簡得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，
∴x1+x2=
2k2+4
k2
，x1x2=1，
∴|A1A2|=
1+k2
•
(x1+x2)2-4x1x2

=
(1+k2)[(
2k2+4
k2
)2-4]
=6，解得：k=±
2
．
故直線l的斜率為：±
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

已知定點A（2，2），M在拋物線x2=4y上，M在拋物線準線上的射影是P點，則MP-MA的最大值為（　�。�
A．1B．
5
C．
7
D．5-2
2

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知直線l與橢圓C：
x2
3
+
y2
2
=1交于P（x1，y1），Q（x2，y2）兩不同點，且△OPQ的面積S△OPQ=
6
2
，其中O為坐標原點．
（Ⅰ）證明x12+x22和y12+y22均為定值；
（Ⅱ）設線段PQ的中點為M，求|OM|•|PQ|的最大值；
（Ⅲ）橢圓C上是否存在點D，E，G，使得S△ODE=S△ODG=S△OEG=
6
2
？若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：單選題

如果橢圓
x2
36
+
y2
9
=1的弦被點（2，2）平分，那么這條弦所在的直線的方程是（　　）
A．x+4y=0B．x+4y-10=0C．x+4y-6=0D．x-4y-10=0

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
2
3
3
，且過點P（
6
，1）．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且
OA
•
OB
＞2（O為坐標原點），求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

設x，y∈R，
i
，
j
為直角坐標平面內x軸y軸正方向上的單位向量，若
a
=x
i
+（y+2）
j
，
b
=x
i
+（y-2）
j
，且|
a
|+|
b
|=8
（Ⅰ）求動點M（x，y）的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設曲線C上兩點AB，滿足（1）直線AB過點（0，3），（2）若
OP
=
OA
+
OB
，則OAPB為矩形，試求AB方程．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，已知圓C：（x+1）2+y2=8，定點A（1，0），M為圓C上一動點，點P在線段AM上，點N在線段CM上，且滿足
AM
=2
AP
，
NP
•
AM
=0，點N的軌跡為曲線E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若過定點F（0，2）的直線交曲線E于不同的兩點G、H（點G在點F、H之間），且滿足
FG
=λ
FH
，求λ的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2
2
的圓C與直線y=x相切于坐標原點O．橢圓
x2
a2
+
y2
9
=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）試探求C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長．若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，橢圓M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
3
2
，直線x=±a和y=±b所圍成的矩形ABCD的面積為8．
（Ⅰ）求橢圓M的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=x+m（m∈R）與橢圓M有兩個不同的交點P，Q，l與矩形ABCD有兩個不同的交點S，T．求
|PQ|
|ST|
的最大值及取得最大值時m的值．

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