Question

4．已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π），在同一周期內(nèi)，當$x=\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值3；當$x=\frac{7π}{12}$時，f（x）取得最小值-3．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式和圖象的對稱中心；
（2）若$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$時，關(guān)于x的方程2f（x）+1-m=0有且僅有一個實數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得A，當$x=\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值3；當$x=\frac{7π}{12}$時，f（x）取得最小值-3．求解周期T，可得ω，圖象過（$\frac{π}{12}$，0），帶入求解ϕ，可得f（x）解析式，令ωx+ϕ=kπ，求解對稱中心．
（2）將f（x）的解析式帶入化簡，求解$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$時，畫出f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合法，可得實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由題意可知A=3，
∵在同一周期內(nèi)，當$x=\frac{π}{12}$時，f（x）取得最大值3；當$x=\frac{7π}{12}$時，f（x）取得最小值-3．
∴$\frac{1}{2}$T=$\frac{7π}{12}-\frac{π}{12}$
∴$T=π=\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2．
又∵$2×\frac{π}{12}+ϕ=\frac{π}{2}+2kπ，k∈Z$
得$ϕ=2kπ+\frac{π}{3}，k∈Z$，
∵|ϕ|＜π，
解得$ϕ=\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的解析式$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$．
令$2x+\frac{π}{3}=kπ$得$x=-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$
∴圖象的對稱中心為$（-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，0）$，（k∈Z）．
（2）由（1）知$f（x）=3sin（2x+\frac{π}{3}）$．
那么：方程2f（x）+1-m=0等價于$sin（2x+\frac{π}{3}）=\frac{m-1}{6}$在$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$上有且僅有一個實數(shù)解
∵$x∈[{-\frac{π}{3}，\frac{π}{6}}]$，
∴$2x+\frac{π}{3}∈[{-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}}]$，
令函數(shù)y₁=sinu，則u∈$[-\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}]$，其圖象為：
結(jié)合函數(shù)圖象有，$\frac{m-1}{6}=1$或$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤\frac{m-1}{6}＜\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
解得：m=7或$1-3\sqrt{3}≤m＜1+3\sqrt{3}$．
實數(shù)m的取值范圍為m=7或$1-3\sqrt{3}≤m＜1+3\sqrt{3}$．

點評 本題考查正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運用．采用數(shù)形結(jié)合法求解參數(shù)問題，屬于中檔題．