Question

函數(shù)f（x）=（x-1）lnx的零點個數(shù)為

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f′（x）=lnx+1-

1

x

，x∈（0，+∞），再求解導(dǎo)數(shù)判斷f′（x）=lnx+1-

1

x

，x∈（0，+∞）單調(diào)遞增，求解得出函數(shù)f（x）=（x-1）lnx，x∈10，+∞）單調(diào)遞增，（0，1）單調(diào)遞減，f（x）的極小值為：f（1）=（1-1）ln1=0，可判斷答案．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=（x-1）lnx，
∴f′（x）=lnx+1-

1

x

，x∈（0，+∞），
∵y=lnx+1-

1

x

，x∈（0，+∞），
∴y′=

1

x

+

1

x2

＞0，
∴f′（x）=lnx+1-

1

x

，x∈（0，+∞）單調(diào)遞增，
∵f′（x）=0，x=1，
f′（x）＞0，x＞1，
f′（x）＜0，0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）=（x-1）lnx，x∈（1，+∞）單調(diào)遞增，（0，1）單調(diào)遞減，
∴f（x）的極小值為：f（1）=（1-1）ln1=0
可知函數(shù)f（x）=（x-1）lnx的零點個數(shù)為1，
故答案為：1

點評：本題考查了函數(shù)的零點的判斷方法，導(dǎo)數(shù)在求解極值，單調(diào)性的運用，屬于中檔題．