Question

如圖，已知矩形ABCD的邊AB=2，BC=

2

，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，沿AF、EC分別把△ADF和△EBC折起，使得點(diǎn)D和點(diǎn)B重合，記重合后的位置為點(diǎn)P．
（Ⅰ）求證：平面PCE⊥平面PCF；
（Ⅱ） 設(shè)M、N分別為棱PA、EC的中點(diǎn)，求直線MN與平面PAE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明平面PCE⊥平面PCF，只需證明PE⊥平面PFC，即證明PE⊥PF； 
 （Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，利用sinθ=|cos＜

.

MN

，

PF

＞|可求直線MN與平面PAE所成角的正弦值．

解答：（Ⅰ）證明：∵PE=PF=1，EF=

2

∴PE⊥PF
∵PE⊥PC，PC∩PF=P
∴PE⊥平面PFC
∵PE?平面PEC
∴平面PCE⊥平面PCF；   
 （Ⅱ）解：如圖，建立坐標(biāo)系，則
A（

2

2

，-1，0），E（

2

2

，0，0），N（0，

1

2

，0），P（0，0，

2

2

），C（-

2

2

，1，0），F(xiàn)（-

2

2

，0，0），M（

2

4

，-

1

2

，

2

4

）

PF

=(-

2

2

，0，-

2

2

)，

MN

=(-

2

4

，1，-

2

4

)，
∵

PA

=(

2

2

，-1，-

2

2

)，

AE

=(0，1，0)
∴

PF

•

PA

=-1+1=0，

PF

•

AE

=0
∴

PF

是平面PAE的法向量，
設(shè)MN與平面PAE 所成的角為θ
∴sinθ=|cos＜

.

MN

，

PF

＞|=

MN • PF

| MN || PF |

=

5

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直，考查線面角，解題的關(guān)鍵是正確運(yùn)用面面垂直的判定，掌握向量法求線面角．