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精英家教網在△ABC中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN與CM交于點E，
AB
=
a
，
AC
=
b
，用
a
、
b
表示
AE
．
分析：利用平面向量基本定理進行轉化與求解，關鍵要確定點E在AC上的具體位置，可以利用待定系數法設出兩向量的倍數關系，選取
AB，
AC
為基底，用兩種不同方法表示出
AE
，利用表示法唯一確定出點E的準確位置．
解答：解：由已知得
AM
=
1
3
AB
，
AN
=
1
4
AC
．
設
ME
=λ
MC
，λ∈R，則
AE
=
AM
+
ME
=
AM
+λ
MC
．
而
MC
=
AC
-
AM
，
∴
AE
=
AM
+λ（
AC
-
AM
）
=
1
3
AB
+λ（
AC
-
1
3
AB
）．
∴
AE
=（
1
3
-
λ
3
）
AB
+λ
AC
．
同理，設
NE
=t
NB
，t∈R，
則
AE
=
AN
+
NE
=
1
4
AC
+t
NB
=
1
4
AC
+t（
AB
-
AN
）=
1
4
AC
+t（
AB
-
1
4
AC
）．
∴
AE
=（
1
4
-
t
4
）
AC
+t
AB
．
∴（
1
3
-
λ
3
）
AB
+λ
AC
=（
1
4
-
t
4
）
AC
+t
AB
．
由
AB
與
AC
是不共線向量，得
1
3
-
λ
3
=t
λ=
1
4
-
t
4

解得
λ=
2
11
t=
3
11
.
∴
AE
=
3
11
AB
+
2
11
AC
，
即
AE
=
3
11
a
+
2
11
b
．
點評：此題所涉及的量較多，且向量與向量之間的關系較為復雜，因此對學生來說確有一定困難．通過共線向量，增加輔助量來理清向量之間關系是“探索”之所在，即對基本定理的深化及應用．考查學生對平面向量基本定理的認識和理解．
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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，
AM
=
MB
，
AN
=
1
3
AC
，已知BN與CM交于點P，設
AB
=
a
，
AC
=
b
，用向量
a
，
b
表示向量
AP
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

在△ABC中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN與CM交于點E，
AB
=
a
，
AC
=
b
，用
a
、
b
表示
AE
．
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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，AM∶AB=1∶3，AN∶AC=1∶4，BN與CM交于點E，=a，=b，用a、b表示.

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科目：高中數學 來源：2006年高考第一輪復習數學：5.1 向量的概念、向量的加法與減法、實數與向量的積（解析版） 題型：解答題

在△ABC中，AM：AB=1：3，AN：AC=1：4，BN與CM交于點E，=，=，用、表示．

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