已知拋物線的方程為x2＝2y，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2相交于點(diǎn)M．

(Ⅰ)證明：l1⊥l2；

(Ⅱ)求點(diǎn)M的軌跡方程．

答案：
解析：

　　(Ⅰ)解：

　　依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋，

　　將其代入x2＝2y，消去y整理得x2－2kx－1＝0．　　2分

　　設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝－1．　　3分

　　將拋物線的方程改寫為y＝x2，求導(dǎo)得＝x．

　　所以過點(diǎn)A的切線l1的斜率是k1＝x1，過點(diǎn)B的切線l2的斜率是k2＝x2，

　　因?yàn)閗1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2．　　6分

　　(Ⅱ)解：

　　直線l1的方程為y－y1＝k1(x－x1)，即y－＝x1(x－x1)，

　　同理，直線l2的方程為y－＝x2(x－x2)，

　　聯(lián)立這兩個(gè)方程，消去y得＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，

　　整理得(x1－x2)＝0，注意到x1≠x2，所以x＝．　　10分

　　此時(shí)y＝．　　12分

　　由(Ⅰ)知，x1＋x2＝2k，所以x＝＝k∈R，

　　所以點(diǎn)M的軌跡方程是y＝．　　14分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線的方程為y2=2px（p＞0），且拋物線上各點(diǎn)與焦點(diǎn)距離的最小值為2，若點(diǎn)M在此拋物線上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N與點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)A（1，1）對稱，則點(diǎn)N的軌跡方程為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•浙江模擬）如圖，已知拋物線的方程為x2=2py（p＞0），過點(diǎn)A（0，-1）作直線與拋物線相交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1），連接BP，BQ，設(shè)QB，BP與x軸分別相交于M，N兩點(diǎn)．如果QB的斜率與PB的斜率的乘積為-3，則∠MBN的大小等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線的對稱軸為x軸，頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在直線2x-4y+11=0上，則此拋物線的方程是（　�。�

A.y2=-11x　B.y2=11x

C.y2=-22xD.y2=22x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上，其上點(diǎn)P（-3，m）到焦點(diǎn)距離為5，則拋物線方程為（　�。�

A.y2=8x

B.y2=-8x

C.y2=4x

D.y2=-4x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)在x軸上，其上一點(diǎn)P(-3,m)到焦點(diǎn)距離為5，則拋物線方程為(    )

A.y2=8x                          B.y2=-8x

C.y2=4x                          D.y2=-4x

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