【題目】已知函數(shù)f(x)=x3-x2+cx+d有極值.
(1)求實(shí)數(shù)c的取值范圍;
(2)若f(x)在x=2處取得極值,且當(dāng)x<0時(shí),f(x)<d2+2d恒成立,求實(shí)數(shù)d的取值范圍.
【答案】(1);(2)(-∞,-7)∪(1,+∞).
【解析】
(1)求出導(dǎo)函數(shù)的解析式,然后根據(jù)函數(shù)有極值,方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解,構(gòu)造關(guān)于的不等式,解不等式即可得到的取值范圍;(2)若在處取得極值,則,求出滿足條件的值后,可以分析出函數(shù)的單調(diào)性,進(jìn)而分析出當(dāng)時(shí),函數(shù)的最大值,又由當(dāng)時(shí),恒成立,可以構(gòu)造出一個(gè)關(guān)于的不等式,解不等式即可得到的取值范圍.
(1)∵f(x)=x3-x2+cx+d,∴f′(x)=x2-x+c,
要使f(x)有極值,則方程f′(x)=x2-x+c=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,
從而Δ=1-4c>0,∴c<, 即實(shí)數(shù)c的取值范圍為.
(2)∵f(x)在x=2處取得極值,
∴f′(2)=4-2+c=0,∴c=-2,∴f(x)=x3-x2-2x+d.
∵f′(x)=x2-x-2=(x-2)(x+1),
∴當(dāng)x∈(-∞,-1]時(shí),f′(x)>0,函數(shù)單調(diào)遞增;
當(dāng)x∈(-1,2]時(shí),f′(x)<0,函數(shù)單調(diào)遞減.
∴x<0時(shí),f(x)在x=-1處取得最大值+d,
∵x<0時(shí),f(x)<d2+2d恒成立,∴+d<d2+2d,即(d+7)(d-1)>0,∴d<-7或d>1,
即實(shí)數(shù)d的取值范圍是(-∞,-7)∪(1,+∞).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+x2-ax+1(a>1).
(1)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;
(2)當(dāng)a>1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.
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【題目】在四面體ABCD中,已知∠ADB=∠BDC=∠CDA=60°,AD=BD=3,CD=2,則四面體ABCD的外界球的半徑為( )
A.
B.2
C.3
D.
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【題目】已知曲線,直線(為參數(shù))
寫出曲線的參數(shù)方程,直線的普通方程;
過曲線上任意一點(diǎn)作與夾角為30°的直線,交于點(diǎn),求的最大值與最小值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的普通方程和直線的傾斜角;
(2)設(shè)點(diǎn),直線和曲線交于兩點(diǎn),求的值.
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【題目】購買一件售價(jià)為5 000元的商品,采用分期付款的辦法,每期付款數(shù)相同,購買后1個(gè)月付款一次,過1個(gè)月再付款一次,如此下去,到第12次付款后全部付清.如果月利率為0.8%,每月利息按復(fù)利計(jì)算(上月利息計(jì)入下月本金),那么每期應(yīng)付款多少元?(精確到1元)
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【題目】如圖所示,ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD,M,N,Q分別是PC,AB,CD的中點(diǎn).
求證:(1)MN∥平面PAD;
(2)平面QMN∥平面PAD.
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