Question

【題目】已知P（3，）是橢圓C：1上的點(diǎn)，Q是P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，橢圓C的離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）A，B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).

①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值.

②當(dāng)A、B在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足∠APQ=∠BPQ時(shí)，問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，并說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②是，理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由已知列關(guān)于，，的方程組求解可得，的值，則橢圓方程可求；

（2）①設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得，利用配方法求最值；

②當(dāng)時(shí)，由是關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，得，的斜率之和為0，設(shè)直線的斜率為，則的斜率為，求得直線，的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得與的值，代入直線的斜率公式可得直線的斜率是定值．

解：（1）由題意知，解得．

橢圓的方程為；

（2）①設(shè)，，，，直線的方程為．

聯(lián)立，得．

由的范圍可得，由根與系數(shù)的關(guān)系得，．

．

是關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，四邊形的面積．

當(dāng)時(shí)，；

②當(dāng)時(shí)，是關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，，的斜率之和為0，

設(shè)直線的斜率為，則的斜率為，設(shè)直線，

代入橢圓方程，可得．

，將換為，可得．

，，

．

故的斜率為定值．