Question

【題目】已知右焦點(diǎn)為的橢圓：過(guò)點(diǎn)

（1）求橢圓的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于點(diǎn)，連接（為坐標(biāo)原點(diǎn)）交于點(diǎn)，求的面積取得最大值時(shí)直線(xiàn)的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可知，左焦點(diǎn).所以由橢圓的定義可求，再根據(jù)求出，即可求出橢圓C的方程；

（2）分類(lèi)討論當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在和不存在兩種情況求的面積. 當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出的面積，再利用基本不等式求最值.

（1）橢圓C：的右焦點(diǎn)為，左焦點(diǎn).

橢圓C過(guò)點(diǎn)P，由橢圓的定義可知

，

.

由橢圓的方程為.

（2）由題意可知，直線(xiàn)的斜率不為0.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，易求.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)的方程為.

聯(lián)立方程組消可得，

則，

,

.

是的中點(diǎn)，

，

，

，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.

面積的最大值為2.

綜上，面積的最大值為2.

所以直線(xiàn)的方程為.