Question

12．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)是（4，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求橢圓的方程．

Answer 1

分析 設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)（c，0），由題意可得a=4，運(yùn)用正三角形的性質(zhì)和橢圓a，b，c的關(guān)系，解方程可得b，由此可求橢圓方程．

解答 解：設(shè)M，N為短軸的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
F為橢圓的右焦點(diǎn)（c，0），
因?yàn)椤鱉NF為正三角形，
所以|OF|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|MN|，
即c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2}{3}$b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b，
由橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)是（4，0），可得a=4，
即有b²+c²=a²=16，
即b²+$\frac{1}{3}$b²=16，
解得b=2$\sqrt{3}$，
因此，橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{12}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，注意運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)，橢圓的基本量的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．