Question

3．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設橢圓C在y軸正半軸上的頂點為P，若直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，橢圓C的左焦點F₁恰為△PAB的垂心（即△PAB三條高所在直線的交點），求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦距為2，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求出c，a，可得b，即可求橢圓C的標準方程；
（2）設直線l的方程為y=-x+m，點A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$消去y，可得3x²-4mx+2m²-2=0，利用BF₁⊥PA，可得m的方程，即可求出m的值．

解答 解：（1）∵橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為2，∴半焦距c=1．
又已知離心率$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴a²=2．
∴b²=1．
∴橢圓C的標準方程為$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．
（2）易知P為（0，1）．
∵橢圓C的左焦點F₁（-1，0）恰為△PAB的垂心，∴PF₁⊥AB，
同理，BF₁⊥PA．
設直線PF₁，AB的斜率分別是${k_{P{F_1}}}，{k_{AB}}$，則${k_{P{F_1}}}•{k_{AB}}=-1$．
∵${k_{P{F_1}}}=1$，∴k_AB=-1．
設直線l的方程為y=-x+m，點A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=-x+m\\{x^2}+2{y^2}=2\end{array}\right.$消去y，可得3x²-4mx+2m²-2=0．
∴$\left\{\begin{array}{l}△=-8{m^2}+24＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{4}{3}m\\{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-2}}{3}\end{array}\right.$．
由△＞0，可知m²＜3．
∵BF₁⊥PA，∴$\overrightarrow{{F_1}B}•\overrightarrow{PA}=0$．
∴$（{x_2}+1）{x_1}+{y_2}（{y_1}-1）=2{x_1}{x_2}+（1-m）（{x_1}+{x_2}）+{m^2}-m=0$．
∴$2•\frac{{2{m^2}-2}}{3}+（1-m）•\frac{4m}{3}+{m^2}-m=0$．
解得m=1或$m=-\frac{4}{3}$．
當m=1時，點P在l上，不合題意；
當$m=-\frac{4}{3}$時，經檢驗，符合題意．
∴當且僅當直線l的方程為$y=-x-\frac{4}{3}$時，橢圓C的左焦點F₁恰為△PAB的垂心．

點評 本題考查了橢圓方程的求法，以及存在性問題的做法，為圓錐曲線的常規(guī)題，應當掌握．