定義在R上的函數(shù)f(x)對(duì)任意a,b∈R都有f(a+b)=f(a)+f(b)+k(k為常數(shù)).

(1)判斷k為何值時(shí),f(x)為奇函數(shù),并證明;

(2)設(shè)k=-1,f(x)是R上的增函數(shù),且f(4)=5,若不等式f(mx2-2mx+3)>3對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.


解:(1)若f(x)在R上為奇函數(shù),則f(0)=0,

令a=b=0,則f(0+0)=f(0)+f(0)+k,所以k=0.

證明:由f(a+b)=f(a)+f(b),令a=x,b=-x,

則f(x-x)=f(x)+f(-x),

又f(0)=0,則有0=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)對(duì)任意x∈R成立,所以f(x)是奇函數(shù).

(2)因?yàn)閒(4)=f(2)+f(2)-1=5,所以f(2)=3.

所以f(mx2-2mx+3)>3=f(2)對(duì)任意x∈R恒成立.

又f(x)是R上的增函數(shù),所以mx2-2mx+3>2對(duì)任意x∈R恒成立,

即mx2-2mx+1>0對(duì)任意x∈R恒成立,

當(dāng)m=0時(shí),顯然成立;

當(dāng)m≠0時(shí),由得0<m<1.

所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0,1).

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：


已知全集,集合,則為（　　）

A．        B．        C．       D．

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函數(shù)f(x)=lo(x2-4)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　)

(A)(0,+∞)  (B)(-∞,0)

(C)(2,+∞)  (D)(-∞,-2)

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函數(shù)y=f(x)(x∈R)的圖象如圖所示,下列說法正確的是(　)

①函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=-f(x);

②函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=f(-x);

③函數(shù)y=f(x)滿足f(-x)=f(x);

④函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=f(x).

(A)①③ (B)②④ (C)①② (D)③④

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已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且它的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱.

(1)求證:f(x)是周期為4的周期函數(shù);

(2)若f(x)=(0≤x≤1),求x∈[-5,-4]時(shí),函數(shù)f(x)的解析式.

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已知函數(shù)f(x)=則f[f()]等于(　　)

(A)9    (B)    (C)-9   (D)-

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函數(shù)f(x)=()的單調(diào)遞減區(qū)間為　　　　,值域?yàn)?u>　　　　. 

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已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式log2a=log3b,給出下列五個(gè)關(guān)系式:①a>b>1;②b>a>1;③a<b<1;④b<a<1;⑤a=b.其中可能的關(guān)系式是　　　　. 

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已知x>0,符號(hào)[x]表示不超過x的最大整數(shù),若函數(shù)f(x)=-a(x≠0)有且僅有3個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是(　　)

(A)(,] (B)[,]

(C)(,] (D)[,]

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