Question

1．已知$\overrightarrow a$=（2$\sqrt{3}$sinωx，2sinωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，sinωx），0＜ω＜2，函數f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+t（t為常數）的一條對稱軸方程為x=$\frac{π}{3}$，且與y軸交于（0，-1）．
（1）求f（x）解析式；
（2）若銳角α，β滿足f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{{5\sqrt{3}}}{7}$，f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{7}$，求sinβ．

Answer 1

分析 （1）跟姐姐向量數量積的公式進行化簡，結合三角函數的對稱性以及與y軸的交點坐標建立方程即可得到結論．
（2）根據條件建立方程關系，利用兩角和差的正弦公式進行化簡求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（2$\sqrt{3}$sinωx，2sinωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，sinωx），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+t=2$\sqrt{3}$sinωxcosωx+2sin²ωx+t=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+1+t=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+1+t，
∵函數與y軸交于（0，-1）．
∴f（0）=-1，即t=-1，
∵函數f（x）的一條對稱軸方程為x=$\frac{π}{3}$，
∴由2ωx-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+kπ，k∈Z，
得2ωx=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
當x=$\frac{π}{3}$時，得2ω•$\frac{π}{3}$=$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
即ω=1+$\frac{3}{2}$k，k∈Z，
∵0＜ω＜2，
∴當k=0時，ω=1，
當k=1時，ω=$\frac{5}{2}$不滿足條件．，
當k=-1時，ω=-$\frac{1}{2}$不滿足條件．，
即ω=1，則f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）若銳角α，β滿足f（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{12}$）=$\frac{{5\sqrt{3}}}{7}$，f（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{3}$）=$\frac{2}{7}$，
則2sin[2×（$\frac{α+β}{2}$+$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{6}$]=$\frac{{5\sqrt{3}}}{7}$，2si[2×（$\frac{α}{2}$+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=$\frac{2}{7}$，
即2sin（α+β）=$\frac{{5\sqrt{3}}}{7}$，2sin（α+$\frac{π}{2}$）=$\frac{2}{7}$，
即sin（α+β）=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，cosα=$\frac{1}{7}$，
∵α，β都是銳角，
∴sinα=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，cos（α+β）=±$\frac{11}{14}$
當cos（α+β）=$\frac{11}{14}$時，
sinβ=sin（α+β-α）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{1}{7}$-$\frac{11}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=-$\frac{39\sqrt{3}}{98}$（舍），
當cos（α+β）=-$\frac{11}{14}$時，
sinβ=sin（α+β-α）=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$×$\frac{1}{7}$+$\frac{11}{14}$×$\frac{4\sqrt{3}}{7}$=$\frac{49\sqrt{3}}{14×7}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題主要考查向量與三角函數的綜合問題，利用向量數量積的定義求出函數f（x）的表達式，結合兩角和差的正弦公式是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．