Question

19．在△ABC中，邊a，b，c的對角分別為A，B，C，且A，B，C成等差數列，
（1）求$\frac{a+c}$的取值范圍；
（2）若AC邊上的中線為$\frac{\sqrt{7}}{2}$a，求角A的值．

Answer 1

分析 （1）解法一：A，B，C成等差數列，可得2B=A+C，結合三角形內角和定理可得B=$\frac{π}{3}$．由余弦定理可得：b²=a²+c²-ac，利用基本不等式的性質可得：$\frac{a+c}$≤2．另一方面：a+c＞b，可得：$\frac{a+c}$＞1．
解法二：由正弦定理可得：$\frac{a+c}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$2sin（A+\frac{π}{3}）$．
（2）利用平行四邊形的對角線的平方和等于四邊的平方和，可得：7a²+b²=2（a²+c²），即b²=2c²-5a²，與b²=a²+c²-ac聯(lián)立解出即可得出．

解答 解：（1）解法一：∵A，B，C成等差數列，∴2B=A+C，而A+B+C=π，∴B=$\frac{π}{3}$．
由余弦定理可得：b²=a²+c²-2ac$cos\frac{π}{3}$=a²+c²-ac，
∴b²=（a+c）²-3ac≥（a+c）²-$\frac{3}{4}（a+c）^{2}$，
∴$\frac{a+c}$≤2，當且僅當a=c時取等號．
另一方面：a+c＞b，可得：$\frac{a+c}$＞1．
綜上可得：$\frac{a+c}$∈（1，2]．
解法二：由正弦定理可得：$\frac{a+c}$=$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$2sin（A+\frac{π}{3}）$∈（1，2]．
（2）利用平行四邊形的對角線的平方和等于四邊的平方和，可得：
7a²+b²=2（a²+c²），即b²=2c²-5a²，與b²=a²+c²-ac聯(lián)立可得：c²+ac-6a²=0，
解得c=2a，
∴b²=a²+c²-ac=3a²，可得b=$\sqrt{3}$a，
由勾股定理可得：C=$\frac{π}{2}$，
∴A=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查了等差數列的性質、正弦定理余弦定理、基本不等式的性質三角形內角和定理及其三邊大小關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．