Question

如圖，正方形ACDE與△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC，∠ACB=90°，F(xiàn)，G分別是線段AE，BC的中點(diǎn)，則AD與FG所成的角的余弦值為

3

6

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC=BC=2，可得向量

AD

、

GF

的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式加以計(jì)算，即可得到異面直線AD與FG所成的角的余弦值．

解答：解：根據(jù)題意，分別以CB、CA、CD所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
設(shè)AC=BC=2，可得A（0，2，0），D（0，0，2），
G（1，0，0），F(xiàn)（0，2，1），
∴

AD

=（0，-2，2），

GF

=（-1，2，1），
設(shè)AD與FG所成的角大小為α，則
cosα=|cos＜

AD

，

GF

＞|=

| AD • GF |

|AD| • |GF|

=

|0×(-1)+(-2)×2+2×1|

02+(-2)2+22 • (-1)2+22+12

=

3

6

，
即AD與FG所成的角的余弦值為

3

6

．
故答案為：

3

6

點(diǎn)評：本題給出正方形所在平面與直角三角形所在平面互相垂直，求面直線AD與FG所成的角的余弦值．著重考查了面面垂直的性質(zhì)和利用空間向量研究異面直線所成角大小等知識，屬于中檔題．