16、已知f(x)=(x2+ax+a)e-x(a≤2,x∈R).
(1)當(dāng)a=1時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)的極大值為3?若存在,求出a的值,若不存在,說明理由.
分析:(1)把a(bǔ)=1代入,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),分別解不等式f′(x)>0,f′(x)<0,從而可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
(2)先假設(shè)f(x)的極大值為3.仿照(1)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,由單調(diào)區(qū)間求出函數(shù)的極大值,結(jié)合條件進(jìn)行判斷.
解答:解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=(x2+x+1)e-x;f′(x)=e-x(-x2+x)(2分)
當(dāng)f′(x)>0時(shí),0<x<1.當(dāng)f′(x)<0時(shí)x>1或x<0
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),
單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞,0)(1,+∞)(4分)
(2)f′(x)=(2x+a)e-x-e-x(x2+ax+a)=e-x[-x2+(2-a)x](6分)
令f′(x)=0,得x=0或x=2-a,列表如下:

由表可知f(x)極大=f(2-a)=(4-a)ea-2(8分)
設(shè)g(a)=(4-a)ea-2,g′(a)=(3-a)ea-2>0(10分)
∴g(a)在(-∞,2)上是增函數(shù),∴g(a)≤g(2)=2<3∴(4-a)ea-2≠3
∴不存在實(shí)數(shù)a使f(x)最大值為3.(12分)
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)用:由函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值,試題的難度一般不大,屬于基礎(chǔ)試題
.而存在性問題常是先假設(shè)存在,再由假設(shè)推導(dǎo),看是否產(chǎn)生矛盾.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

12、已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=lg(x2-mx+2m-1),m∈R
(Ⅰ)當(dāng)m=0時(shí),求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)f(x)的值域是[lg2,+∞),求m的值;
(Ⅲ)若x∈[0,1]時(shí)不等式f(x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=2sin(
x
2
+
π
6
)-1,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間.
(2)函數(shù)f(x)的圖象可以由函數(shù)f(x)=sin
x
2
(x∈R)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=
3+x
1+x2
,0≤x≤3
f(3)  ,x>3
,
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若關(guān)于x的方程f(x)-a=0恰有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•江西模擬)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=(
1
2
x-m,若任取x1∈[0,3],存在x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),則m的取值范圍
[
1
4
,+∞
[
1
4
,+∞

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案