Question

已知二階矩陣M有特征值λ=8及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量

e

1=

1   1

，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)（-1，2）變換成（-2，4）．
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個(gè)特征值，及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量

e

2的坐標(biāo)之間的關(guān)系．
（3）求直線l：x-y+1=0在矩陣M的作用下的直線l′的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出要求的矩陣，根據(jù)矩陣的特征向量和特征值，和把一個(gè)點(diǎn)變成另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，得到關(guān)系式，即得到關(guān)于字母的方程組，解方程組得到結(jié)果．
（2）根據(jù)第一問(wèn)得到矩陣M的特征多項(xiàng)式，求出對(duì)應(yīng)的特征值，設(shè)出矩陣的另一個(gè)特征向量，根據(jù)兩者的關(guān)系寫出結(jié)果．
（3）設(shè)出點(diǎn)（x，y）是直線l上的任一點(diǎn)，其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），根據(jù)變換前后寫出關(guān)系式，整理出要求的直線的方程．

解答：解：（1）設(shè)M=

a b c d

，則

a b c d

1 1

=8

1 1

=

8 8

，
故

a+b=8 c+d=8.

a b c d

-1 2

=

-2 4

，
故

-a+2b=-2 -c+2d=4.

聯(lián)立以上兩方程組解得a=6，b=2，c=4，d=4，
故M=

6 2 4 4

．
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ²-10λ+16，
故其另一個(gè)特征值為λ=2．
設(shè)矩陣M的另一個(gè)特征向量是e₂=

x y

，
則M e₂=

6x+2y 4x+4y

=2

x y

，
解得2x+y=0．
（3）設(shè)點(diǎn)（x，y）是直線l上的任一點(diǎn)，
其在矩陣M的變換下對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x′，y′），
則

6 2 4 4

x y

=

x′ y′

，
即x=

1

4

x′-

1

8

y′，y=-

1

4

x′+

3

8

y′，
代入直線l的方程后并化簡(jiǎn)得x′-y′+2=0，
即x-y+2=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查矩陣的特征向量和特征值的應(yīng)用，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題，題目的運(yùn)算量較小，并且考查最基本的矩陣問(wèn)題，若出現(xiàn)是一個(gè)送分題目．