Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在，處取得極值.

①求、的值；

②若存在，使得不等式成立，求的最小值；

（2）當(dāng)時(shí)，若在上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】試題分析：（1）①先求 ，根據(jù)函數(shù)在處取得極值，則，代入可求得的值；

②轉(zhuǎn)化為，從而求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，從而求得的值；

（2）當(dāng)時(shí)，，①當(dāng)時(shí)，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，分討論在上正負(fù)，以確定函數(shù)的單調(diào)性的條件，進(jìn)而求出的取值范圍．

試題解析：

（1）①∵，∴，

∵在，處取得極值，∴，，

即解得，∴所求、的值分別為.
②在存在，使得不等式成立，只需，由，∴當(dāng)時(shí)，，故在是單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在是單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，故在是單調(diào)遞減；∴是在上的極小值，，且，又，∴，∴，∴，∴的取值范圍為，所以的最小值為.
（2）當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，則在上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，設(shè)，只需，從而得，此時(shí)在上單調(diào)遞減；
綜上得，的取值范圍是