Question

20．已知曲線C的極坐標(biāo)方程為2ρsinθ+ρcosθ=10，以極點(diǎn)為直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，極軸所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，曲線C₁的參數(shù)方程為${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)），．
（Ⅰ）求曲線C的直角坐標(biāo)方程和曲線C₁的普通方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)M在曲線C₁上運(yùn)動(dòng)，試求出M到曲線C的距離的最小值及該點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）直接由x=ρcosθ，y=ρsinθ及已知可得曲線C的直角坐標(biāo)方程，把${C_1}：\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$變形，利用平方關(guān)系消參可得曲線C₁的普通方程；
（2）設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線的距離公式及三角函數(shù)的輔助角公式化積得答案．

解答 解：（1）由2ρsinθ+ρcosθ=10，得x+2y-10=0，
∴曲線C的普通方程是：x+2y-10=0．
由$\left\{\begin{array}{l}x=3cosα\\ y=2sinα\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}cosα=\frac{x}{3}\\ sinα=\frac{y}{2}\end{array}\right.$，代入cos²α+sin²α=1，得$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$，
∴曲線C₁的普通方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）曲線C的普通方程是：x+2y-10=0，
設(shè)點(diǎn)M（3cosα，2sinα），由點(diǎn)到直線的距離公式得：
$d=\frac{{|{3cosα+4sinα-10}|}}{{\sqrt{5}}}=\frac{1}{{\sqrt{5}}}|{5cos（α-φ）-10}|$，其中$cosφ=\frac{3}{5}，sinφ=\frac{4}{5}$，
∴α-φ=0時(shí)，${d_{min}}=\sqrt{5}$，此時(shí)$M（\frac{9}{5}，\frac{8}{5}）$．

點(diǎn)評 本題考查簡單曲線的極坐標(biāo)方程，考查參數(shù)方程化普通方程，訓(xùn)練了點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，是中檔題．