Question

15．已知f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）在x=-1時(shí)有極值0．
（1）求常數(shù) a，b的值；  
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）方程f（x）=c在區(qū)間[-4，0]上有三個(gè)不同的實(shí)根時(shí)實(shí)數(shù)c的范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=3x²+6ax+b，利用函數(shù)的極值點(diǎn)，列出方程組求解即可．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x）=3x²+12x+9=3（x+3）（x+1），求出極值點(diǎn)，列表判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（3）利用函數(shù)的極值，求解c的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）=x³+3ax²+bx+a²（a＞1）可得f′（x）=3x²+6ax+b，
由題x=-1時(shí)有極值0，可得：$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=0}\\{f（1）=0}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{3-6a+b=0}\\{-1+3a-b+{a}^{2}=0}\end{array}\right.$…（2分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=9\end{array}\right.$…（4分）
（2）當(dāng)a=2，b=9時(shí)，f（x）=3x²+12x+9=3（x+3）（x+1）
故方程f（x）=0有根x=-3或x=-1…（6分）

x	（-∞，-3）	-3	（-3，-1）	-1	（-1，+∞）
f（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

由表可見(jiàn)，當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極小值0，故$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=9\end{array}\right.$符合題意      …（8分）
由上表可知：f（x）的減函數(shù)區(qū)間為（-3，-1）f（x）的增函數(shù)區(qū)間為（-∞，-3）或（-1，+∞）…（10分）
（3）因?yàn)閒（-4）=0，f（-3）=4，f（-1）=-1，f（0）=4，
由函數(shù)的連續(xù)性以及函數(shù)的單調(diào)性可得0＜c＜4．                               …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．