Question

【題目】若函數(shù)的圖像上存在兩個不同的點關(guān)于軸對稱，則稱函數(shù)圖像上存在一對“偶點”．

（1）寫出函數(shù)圖像上一對“偶點”的坐標；（不需寫出過程）

（2）證明：函數(shù)圖像上有且只有一對“偶點”；

（3）若函數(shù)圖像上有且只有一對“偶點”，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）

【解析】

（1）根據(jù)題意即正弦函數(shù)的性質(zhì)即可直接求解；

（2）要證：函數(shù)數(shù)圖象上有且只有一對“偶點”，只需證：在上有且只有一個零點，結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)即可證明；

（3）由題意，問題可轉(zhuǎn)化為函數(shù)只有一個零點，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)可求．

（1）函數(shù)圖像上一對“偶點”的坐標為，

（2）設(shè)，

因為的定義域為，且，

所以函數(shù)為奇函數(shù)，

要證：函數(shù)圖像上有且只有一對“偶點”，

只需證：在上有且只有一個零點，

令，得，

所以，函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，在上為單調(diào)增函數(shù)，

，，

所以函數(shù)在上有且只有一個零點，

所以函數(shù)圖像上有且只有一對“偶點”，

（3）設(shè)，，

因為的定義域為，且，

所以函數(shù)為奇函數(shù)，

因為函數(shù)圖像上有且只有一對“偶點”，

所以函數(shù)在有且只有一個零點，

，，

①當時，因為，

所以函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)，所以，

所以函數(shù)在無零點，

②當時，由，

得：，

所以函數(shù)在上單調(diào)減函數(shù)，在上單調(diào)增函數(shù)，

所以，

設(shè)，，

所以函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)，在上單調(diào)減函數(shù)，

所以，所以，

所以，

設(shè)，設(shè)，

因為，

所以函數(shù)在單調(diào)增函數(shù)，

所以，所以函數(shù)在單調(diào)增函數(shù)，

所以，所以當時，，

，

因為函數(shù)在上單調(diào)增函數(shù)，

所以函數(shù)在上有且僅有一個，使得，

綜上：的取值范圍為.