Question

設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0）滿足：x∈R時，f（x-2）=f（-x），且x²+x+5≤f（x）≤2x²+5x+9恒成立．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知函數(shù)f（x）-kx的圖象與x軸交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，問是否存在實數(shù)k滿足

AB

=2

OA

？如果存在，求出k的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由x²+x+5≤f（x）≤2x²+5x+9恒成立，令x=-2得f（-2）=7，又f（x-2）=f（-x），令x=2得f（0）=7，然后設(shè)二次函數(shù)解析式的兩根式，代入x²+x+5≤f（x）≤2x²+5x+9可求得a，代入解析式即可，
（2）由（1）代入函數(shù)f（x）-kx的函數(shù)解析式，不妨設(shè)為g（x），然后假設(shè)存在，設(shè)交點坐標(biāo)，代入方程驗證．

解答： 解：（1）令x=-2，則7≤f（-2）≤7，所以f（-2）=7，
又x∈R時，f（x-2）=f（-x），從而f（0）=f（-2）=7，
故可設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax（x+2）+7，
對于x∈R，x²+x+5≤ax²+2ax+7，即（a-1）x²+（2a-1）x+2≥0
則（2a-1）²-8（a-1）≤0且a＞1，化簡得（2a-3）³≤0，解得a=

3

2

所以函數(shù)f（x）的解析式為f(x)=

3

2

x2+3x+7；                            
（2）設(shè)g（x）=f（x）-kx，g(x)=

3

2

x2+(3-k)x+7
因為g（0）=7＞0，所以A，B一定在y軸的同側(cè)，設(shè)A（α，0），B（β，0），
由

AB

=2

OA

有β=3α，
又可知α，β是方程

3

2

x2+(3-k)x+7=0的兩實數(shù)根，
由韋達(dá)定理可得，β+α=

2k-6

3

，αβ=

14

3

，
解得，k=3±2

14

，經(jīng)檢驗，符合△＞0．

點評：解題的關(guān)鍵是對于題目條件中幾個式子的理解和運用，屬于做題中的技巧，要多熟練，孰能生巧．