Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為A，
①如果對于任意x₁、x₂∈A，x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則稱函數(shù)f（x）是凹函數(shù)．
②如果對于任意x₁、x₂∈A，x₁≠x₂，都有f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則稱函數(shù)f（x）是凸函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)y=x²是凹函數(shù)還是凸函數(shù)，并加以證明；
（2）判斷函數(shù)f（x）=log₂x是凹函數(shù)還是凸函數(shù)，并加以證明．

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)y=x²的定義域是R，是凹函數(shù)．證明如下：?x₁、x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，求出f（

x1+x2

2

），

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]．比較f（

x1+x2

2

）與

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]的大小即可判斷函數(shù)是凹函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）=log₂x的定義域是（0，+∞），函數(shù)是凸函數(shù)證明如下與（1）的解法一樣．

解答： 解：（1）函數(shù)y=x²的定義域是R，是凹函數(shù)．
證明如下：
?x₁、x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，
f（

x1+x2

2

）=(

x1+x2

2

)2，

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

[x₁²+x₂²]．
∵f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=(

x1+x2

2

)2-

1

2

[x₁²+x₂²]=-

1

4

(x1-x2)2＜0，
所以f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，即函數(shù)f（x）=x²是凹函數(shù)．
（2）函數(shù)f（x）=log₂x的定義域是（0，+∞），函數(shù)是凸函數(shù)．
證明如下：
?x₁、x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，
f（

x1+x2

2

）=log₂（

x1+x2

2

），

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]=

1

2

log₂x₁+

1

2

log₂ x₂=

1

2

log₂x₁x₂
∵f（

x1+x2

2

）-

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]
=log₂（

x1+x2

2

）-

1

2

 log₂ x₁ x₂=log₂（

x1+x2

2

）-log₂ 

x1x2

=log₂（

x1+x2

2 x1x2

）
而x₁+x₂-2

x1x2

=（

x1

-

x2

）²＞0，所以

x1+x2

2 x1x2

＞1，log₂（

x1+x2

2 x1x2

）＞0，
所以f（

x1+x2

2

）＞

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，即函數(shù)f（x）=log₂x是凸函數(shù)．…（16分）

點評：本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，函數(shù)的凹凸性的判斷，考查計算能力．