Question

給出下列四個(gè)命題：
①命題“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1＞3x”；
②在空間中，m、n是兩條不重合的直線，α、β是兩個(gè)不重合的平面，如果α⊥β，α⊥β=n，m⊥n，那么m⊥β；
③將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=sin（2x-

π

6

）的圖象；
④函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）=

2-x-1(x≤0) f(x-1)(x＞0)

，若方程f（x）=x+a有兩個(gè)不同實(shí)根，則a的取值范圍為（-∞，1）．
其中正確命題的序號(hào)是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：直接寫出命題的否定判斷①；由已知條件判斷出m與β的關(guān)系判斷②；
由三角函數(shù)的圖象平移結(jié)合誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)判斷③；由分段函數(shù)的解析式得到函數(shù)在不同區(qū)間段內(nèi)的解析式可得使方程f（x）=x+a有兩個(gè)不同實(shí)根的直線y=x+a的截距的范圍．

解答： 解：對(duì)于①，命題“?x∈R，x²+1＞3x”的否定是“?x∈R，x²+1≤3x”，命題①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，在空間中，m、n是兩條不重合的直線，α、β是兩個(gè)不重合的平面，如果α⊥β，α⊥β=n，m⊥n，那么m與β的關(guān)系是m∥β或m?β或m與β相交，命題②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，將函數(shù)y=cos2x的圖象向右平移

π

3

個(gè)單位，
得到函數(shù)y=cos2（x-

π

3

）=cos（2x-

2π

3

）=cos（-

π

2

+2x-

π

6

）=sin（2x-

π

6

）的圖象，命題③正確；
對(duì)于④，函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（x）=

2-x-1(x≤0) f(x-1)(x＞0)

，
當(dāng)x≤0時(shí)函數(shù)f（x）=(

1

2

)x-1；
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=f（x-1），當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，x-1∈（-1，0]，f（x）=f（x-1）=2^1-x-1，x∈（0，1]，
類推有
f（x）=f（x-1）=2^2-x-1，x∈（1，2]，
…
也就是說，x＞0的部分是將x∈（-1，0]的部分，周期性向右推移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，
若方程f（x）=x+a有兩個(gè)不同實(shí)根，則a的取值范圍為（-∞，1）．
命題④正確．
故答案為：③④．

點(diǎn)評(píng)：不同考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了分段函數(shù)解析式的求法，訓(xùn)練了函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，是中檔題．