Question

12．（1）已知a+b+c+d＞100，求證a，b，c，d中，至少有一個數(shù)大于25；
（2）已知a＞0，b＞0，求證：a³+b³≥a²b+ab²．

Answer 1

分析 （1）由反證法的證明模式可得；
（2）證法一：分析法，證法二：綜合法，證法三：作差法，分別由各種證明法的模式可得．

解答 （1）證明：假設結論不對，即a，b，c，d均不大于25，
那么a+b+c+d≤25+25+25+25=100，這與已知條件矛盾，
∴a，b，c，d中，至少有一個數(shù)大于25；
（2）證法一：分析法
要證a³+b³≥a²b+ab²成立．
只需證（a+b）（a²-ab+b²）≥ab（a+b）成立，
又∵a+b＞0，故只需證a²-ab+b²≥ab成立，
只需證a²-2ab+b²≥0成立，
即證（a-b）²≥0成立，
而（a-b）²≥0顯然成立．由此命題得證．
證法二：綜合法
∵（a-b）²≥0，∴a²-2ab+b²≥0，
∴a²-ab+b²≥ab，
由知a＞0，b＞0可得知a+b＞0，
∴（a+b）（a²-ab+b²）≥ab（a+b），
∴a³+b³≥a²b+ab²成立．
證法三：作差法
a³+b³-（a²b+ab²）=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）²（a+b），
∵a＞0，b＞0，∴（a-b）²≥0，
∴（a-b）²（a+b）≥0
∴a³+b³≥a²b+ab²．

點評 本題考查不等式的證明，涉及分析法、綜合法以及反證法，屬中檔題．