Question

7．若函數(shù)y=f（x）（x∈D）同時滿足以下條件：①它在定義域D上是單調(diào)遞減或遞增函數(shù)；②存在區(qū)間[a，b]?D使得f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，我們將這樣的函數(shù)稱作“A類函數(shù)”．
（1）函數(shù)f（x）=-x³是不是“A類函數(shù)”？如果是，試找出[a，b]；如果不是，試說明理由；
（2）求使得函數(shù)g（x）=k+$\sqrt{x+2}$是“A類函數(shù)”的常數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用f′（x）=-3x²≤0，結(jié)合函數(shù)的奇偶性列出方程組，即可求出a，b．
（2）利用函數(shù)g（x）=k+$\sqrt{x+2}$是“A類函數(shù)”，推出函數(shù)g（x）的圖象與直線y=x有兩個不同交點，得到k的表達(dá)式，然后求解范圍．

解答 解：（1）因為f′（x）=-3x²≤0，
所以f（x）在R上是減函數(shù)，所以$\left\{\begin{array}{l}f（a）=b\\ f（b）=a\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}-{a}^{3}=b\\-^{3}=a\end{array}\right.$，又a＜b，
∴a=-1，b=1．
∴函數(shù)f（x）=-x³是“A類函數(shù)”，區(qū)間[-1，1]；
（2）由函數(shù)g（x）=k+$\sqrt{x+2}$是“A類函數(shù)”，易知函數(shù)是增函數(shù)，∴在[a，b]上的值域也是[a，b]，說明函數(shù)g（x）的圖象與直線y=x有兩個不同交點，令k+$\sqrt{x+2}=x$，則有k=x-$\sqrt{x+2}$，x≤-2，則k≤-2，
令t=$\sqrt{x+2}$≥0，x=t²-2，則k=t²-t-2=$（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$，由數(shù)形結(jié)合可知：k∈$（-\frac{9}{4}，-2]$．

點評 本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．