Question

18．已知a，b∈R⁺，且$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}=5$，則a+b的取值范圍是（　　）

• A． [1，4]
• B． [2，+∞）
• C． （2，4）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 a，b∈R⁺，由$（\frac{a+b}{2}）^{2}$≥ab，可得$\frac{1}{ab}$≥$\frac{4}{（a+b）^{2}}$．又$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}=5$，可得（a+b）$（1+\frac{1}{ab}）$=5≥（a+b）$（1+\frac{4}{（a+b）^{2}}）$，化簡整理即可得出．

解答 解：∵a，b∈R⁺，∴$（\frac{a+b}{2}）^{2}$≥ab，可得$\frac{1}{ab}$≥$\frac{4}{（a+b）^{2}}$．
∵$a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}=5$，
∴（a+b）$（1+\frac{1}{ab}）$=5≥（a+b）$（1+\frac{4}{（a+b）^{2}}）$，
化為：（a+b）²-5（a+b）+4≤0，
解得1≤a+b≤4，
則a+b的取值范圍是[1，4]．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．