Question

已知過定點M（0，4）的直線l與⊙C：（x+1）²+（y-3）²=4交于A、B兩點．
（1）當(dāng)弦AB最短時，求直線l的方程；
（2）若|

CA

+

CB

|=|

CA

-

CB

|，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：綜合題,直線與圓

分析：（1）由題意得，點在圓的內(nèi)部，故當(dāng)弦AB和點M（0，4）與圓心C（-1，3）的連線垂直時，弦AB最短，由點斜式求得弦AB所在的直線的方程，再化為一般式；
（2）確定

CA

⊥

CB

，C到直線AB的距離為

2

，再分類討論，即可求直線l的方程．

解答： 解：（1）由題意，定點M（0，4）在圓C：（x+1）²+（y-3）²=4的內(nèi)部，
故當(dāng)弦AB和點M（0，4）與圓心C（-1，3）的連線垂直時，弦AB最短．
∵k_CM=

3-4

-1-0

=1，
∴弦AB的斜率為-1，由點斜式求得弦AB所在的直線的方程為y-4=-1（x-0），
即x+y-3=0；
（2）∵|

CA

+

CB

|=|

CA

-

CB

|，
∴

CA

⊥

CB

，
∴C到直線AB的距離為

2

，
斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+4，即kx-y+4=0，
∴C到直線AB的距離為

|-k+1|

k2+1

=

2

，
∴k=-1，∴直線l的方程為x+y-4=0；
斜率不存在時，直線l的方程為x=0滿足題意，
∴直線l的方程為x=0或x+y-4=0．

點評：本題考查點與圓的位置關(guān)系的判斷，以及用點斜式求直線的方程，考查向量知識及點到直線的距離公式，屬于中檔題．