Question

8．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₁=1，前100項(xiàng)和S₁₀₀=10000．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}={2^{{a_n}+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，即可求得d，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由${b_n}={2^{{a_n}+1}}={2^{2n}}={4^n}$，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ 100{a_1}+50×99d=100.\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=1\\ d=2.\end{array}\right.$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1；
（2）∵${b_n}={2^{{a_n}+1}}={2^{2n}}={4^n}$，
∴${S_n}={4^1}+{4^2}+{4^3}+…+{4^n}=\frac{{4（{{4^n}-1}）}}{4-1}=\frac{4}{3}（{{4^n}-1}）$．
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，S_n=$\frac{4}{3}$（4ⁿ-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，等差數(shù)列通項(xiàng)公式，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．