Question

2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知R（x₀，y₀）是橢圓C：$\frac{x^2}{24}+\frac{y^2}{12}$=1上的一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓R：（x-x₀）²+（y-y₀）²=8作兩條切線，分別交橢圓于P，Q兩點(diǎn)．
（1）若R點(diǎn)在第一象限，且直線OP、OQ互相垂直，求圓R的方程；
（2）若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k₁，k₂，求k₁k₂的值．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件，列出方程求出圓R的圓心坐標(biāo)，即可求解圓的方程．
（2）直線OP：y=k₁x和OQ：y=k₂x都與圓R相切，推出k₁，k₂是方程$（{x_0^2-8}）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-8=0$的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，${k_1}•{k_2}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$，通過(guò)點(diǎn)R（x₀，y₀）在橢圓C上，代入化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（1）由圓R的方程知圓R的半徑$r=2\sqrt{2}$，因?yàn)橹本�OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，
所以$|{OR}|=\sqrt{2}r=4$，即$x_0^2+y_0^2=16$①
又點(diǎn)R在橢圓C上，所以$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$②
聯(lián)立①②，解得$\left\{\begin{array}{l}{x_0}=2\sqrt{2}\\{y_0}=2\sqrt{2}\end{array}\right.$，
所以所求圓R的方程為：${（{x-2\sqrt{2}}）^2}+{（{y-2\sqrt{2}}）^2}=8$．
（2）因?yàn)橹本�OP：y=k₁x和OQ：y=k₂x都與圓R相切，
所以$\frac{{|{{k_1}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=2\sqrt{2}$，$\frac{{|{{k_2}{x_0}-{y_0}}|}}{{\sqrt{1+k_2^2}}}=2\sqrt{2}$，
化簡(jiǎn)得$（{x_0^2+8}）k_1^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-8=0$，$（{x_0^2+8}）k_2^2-2{x_0}{y_0}{k_1}+y_0^2-8=0$，
所以k₁，k₂是方程$（{x_0^2-8}）{k^2}-2{x_0}{y_0}k+y_0^2-8=0$的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理得，${k_1}•{k_2}=\frac{y_0^2-8}{x_0^2-8}$，
因?yàn)辄c(diǎn)R（x₀，y₀）在橢圓C上，所以$\frac{x_0^2}{24}+\frac{y_0^2}{12}=1$，
即$y_0^2=12-\frac{1}{2}x_0^2$，
所以${k_1}{k_2}=\frac{{4-\frac{1}{2}x_0^2}}{x_0^2-8}=-\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，圓與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．