Question

如圖，l₁、l₂是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段．點(diǎn)A、B在l₁上，C在l₂上，AM=MB=MN．
（Ⅰ）證明AC⊥NB；
（Ⅱ）若∠ACB=60°，求NB與平面ABC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）欲證AC⊥NB，可先證BN⊥面ACN，根據(jù)線面垂直的判定定理只需證AN⊥BN，CN⊥BN即可；
（2）易證N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，連接BH，∠NBH為NB與平面ABC所成的角，在Rt△NHB中求出此角即可．

解答：解：（Ⅰ）由已知l₂⊥MN，l₂⊥l₁，MN∩l₁=M，可得l₂⊥平面ABN．
由已知MN⊥l₁，AM=MB=MN，
可知AN=NB且AN⊥NB．又AN為AC在平面ABN內(nèi)的射影．
∴AC⊥NB
（Ⅱ）∵Rt△CAN≌Rt△CNB，
∴AC=BC，又已知∠ACB=60°，
因此△ABC為正三角形．
∵Rt△ANB≌Rt△CNB，
∴NC=NA=NB，因此N在平面ABC內(nèi)的射影H是正三角形ABC的中心，
連接BH，∠NBH為NB與平面ABC所成的角．
在Rt△NHB中，cos∠NBH=

HB

NB

=

3 3 AB

2 2 AB

=

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題．