Question

已知直線(xiàn)方程為（λ+3）x+（2λ-1）y+7=0．
（1）證明：不論λ為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)．
（2）直線(xiàn)m過(guò)（1）中的定點(diǎn)且在兩坐標(biāo)軸的截距的絕對(duì)值相等，求滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)m方程．

Answer 1

解：（1）證明：∵直線(xiàn)方程為（λ+3）x+（2λ-1）y+7=0，即 λ（x+2y）+（3x-y+7）=0，由 可得 ，
故不論λ為何實(shí)數(shù)，直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)A（-2，1）．
（2）由題意可得，直線(xiàn)m經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（-2，1），且在兩坐標(biāo)軸的截距的絕對(duì)值相等．
當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)方程為 y=-x，即 x+2y=0．
當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x+y=a，或 x-y=b，把定點(diǎn)A的坐標(biāo)代入可得-2+1=a，或-2-1=b，
解得 a=-1，b=-3，故直線(xiàn)的方程為 x+y+1=0，或 x-y+3=0．
綜上可得，所求的直線(xiàn)的方程為 x+2y=0，或 x+y+1=0，或 x-y+3=0．
分析：（1）直線(xiàn)方程即 λ（x+2y）+（3x-y+7）=0，由 可得 ，從而求得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)A（-2，1）．
（2）當(dāng)直線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，由點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)方程為 y=-x，當(dāng)直線(xiàn)不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x+y=a，或 x-y=b，把定點(diǎn)A的坐標(biāo)代入所設(shè)的方程，求出a、b的值，即可求得
滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)m方程．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，求直線(xiàn)的方程，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．