Question

已知：函數(shù)f(x)=

1

2

x2+ax-2a2lnx(a＞0)
（I）求f（x）的單調區(qū)間；
（II）若f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（I）∵函數(shù)f(x)=

1

2

x2+ax-2a2lnx(a＞0)的定義域為（0，+∞）
∴f′(x)=x+a-

2a2

x

=

x2+ax-2a2

x

=

(x+a)(x-2a )

x

∵a＞0，令f′（x）=0，則x=-a（舍去），或x=2a
∵當x∈（0，2a）時，f′（x）＜0，∵當x∈（2a，+∞）時，f′（x）＞0，
∴（0，2a）為函數(shù)f(x)=

1

2

x2+ax-2a2lnx的單調遞減區(qū)間，
（2a，+∞）為函數(shù)f(x)=

1

2

x2+ax-2a2lnx的單調遞增區(qū)間；
（II）由（I）得當x=2a時，函數(shù)取最小值4a²-2a²ln（2a）
若f（x）＞0恒成立
則4a²-2a²ln（2a）=2a²•[2-ln（2a）]＞0
即2-ln（2a）＞0
解得a＜

e2

2

又∵a＞0，
∴a的取值范圍為（0，

e2

2

）