【題目】如圖,已知M(x0,y0)是橢圓C:+=1上的任一點(diǎn),從原點(diǎn)O向圓M:(x-x0)2+(y-y0)2=2作兩條切線,分別交橢圓于點(diǎn)P,Q.
(1)若直線OP,OQ的斜率存在,并記為k1,k2,求證:k1k2為定值;
(2)試問(wèn)|OP|2+|OQ|2是否為定值?若是,求出該值;若不是,說(shuō)明理由.
【答案】見(jiàn)解析
【解析】
解:(1)證明:因?yàn)橹本OP:y=k1x,OQ:y=k2x與圓M相切,所以=,
化簡(jiǎn)得:(x-2)k-2x0y0k1+y-2=0,
同理:(x-2)k-2x0y0k2+y-2=0,
所以k1,k2是方程(x-2)k2-2x0y0k+y-2=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,
所以k1·k2=.
因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在橢圓C上,所以+=1,即y=3-x,
所以k1k2==-為定值.
(2)|OP|2+|OQ|2是定值,定值為9.
理由如下:
方法一:①當(dāng)直線OP,OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
聯(lián)立解得
所以x+y=,同理得x+y=,
又因?yàn)閗1k2=-,
所以|OP|2+|OQ|2=x+y+x+y
=+
=+
==9.
②當(dāng)直線OP,OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有|OP|2+|OQ|2=9,
綜上:|OP|2+|OQ|2=9為定值.
方法二:①當(dāng)直線OP,OQ不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
因?yàn)閗1k2=-,所以yy=xx,
因?yàn)镻(x1,y1),Q(x2,y2)在橢圓C上,
所以即
所以
=xx,整理得x+x=6,
所以y+y=+=3,所以|OP|2+|OQ|2=9.
②當(dāng)直線OP,OQ落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有|OP|2+|OQ|2=9,
綜上:|OP|2+|OQ|2=9為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中,D為BB1的中點(diǎn),F(xiàn)在AC1上,且DF⊥AC1,則下述結(jié)論:
①AC1⊥BC;
②AF=FC1;
③平面DAC1⊥平面ACC1A1,其中正確的個(gè)數(shù)為( )
A.0 B.1
C.2 D.3
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(本小題滿分16分)已知是虛數(shù), 是實(shí)數(shù).
(1)求為何值時(shí), 有最小值,并求出|的最小值;
(2)設(shè),求證: 為純虛數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知圓: 過(guò)橢圓: 的短軸端點(diǎn), 分別是圓與橢圓上任意兩點(diǎn),且線段長(zhǎng)度的最大值為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作圓的一條切線交橢圓于兩點(diǎn),求的面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-1,0),F(xiàn)2(1,0),且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)P.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A(0,2)的直線l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)Q是線段MN上的點(diǎn),且=+,求點(diǎn)Q的軌跡方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的圖象在處的切線方程;
(2)若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意的,都有函數(shù)的圖象在的圖象的下方?若存在,請(qǐng)求出最大整數(shù)的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)理由.
(參考數(shù)據(jù): , ).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓()的離心率為,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為.過(guò)橢圓左頂點(diǎn)的直線與橢圓的另一交點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若與直線交于點(diǎn),求的值;
(3)若,求直線的傾斜角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,已知,點(diǎn)、分別在、上,且,將四邊形沿折起,使點(diǎn)在平面上的射影在直線上.
(I)求證: ;
(II)求點(diǎn)到平面的距離;
(III)求直線與平面所成的正弦值.
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