Question

18．給出下列命題：
①設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S_n=2^n-1+p，則{a_n}是等比數(shù)列的充分且必要條件是p=-$\frac{1}{2}$；
②函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$的值域?yàn)?[0，\sqrt{2}]$；
③已知x∈（0，π），則sin²x+$\frac{4}{{{{sin}^2}x}}$的最小值為4；
④若方程e^2lnx=$\frac{3}{2}-\frac{a}{x}$在$[\frac{1}{2}，1]$上有解，則a的取值范圍是$[\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$．
其中正確命題的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和充要條件的定義，可判斷①；求出函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$的值域，可判斷②；求出x∈（0，π）時(shí)，sin²x+$\frac{4}{{{{sin}^2}x}}$的最小值，可判斷③；根據(jù)方程e^2lnx=$\frac{3}{2}-\frac{a}{x}$在$[\frac{1}{2}，1]$上有解，求出a的取值范圍，可判斷④．

解答 解：①設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，若S_n=2^n-1+p，
當(dāng)p=-$\frac{1}{2}$時(shí)，數(shù)列{a_n}是一個(gè)公比為2，首項(xiàng)為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列，
若{a_n}是等比數(shù)列，則由S_n=2^n-1+p可得公比q≠1，
則由S_n=2^n-1+p=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$可得：p=-$\frac{1}{2}$；
故{a_n}是等比數(shù)列的充分且必要條件是p=-$\frac{1}{2}$，即①正確；
②函數(shù)f（x）=$\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$的值域?yàn)?[1，\sqrt{2}]$，故②錯(cuò)誤；
③已知x∈（0，π），則當(dāng)sinx=1時(shí)，sin²x+$\frac{4}{{{{sin}^2}x}}$取最小值5，故③錯(cuò)誤；
④若方程e^2lnx=$\frac{3}{2}-\frac{a}{x}$在$[\frac{1}{2}，1]$上有解，即方程x²=$\frac{3}{2}-\frac{a}{x}$在$[\frac{1}{2}，1]$上有解，
即a=$-{x}^{3}+\frac{3}{2}x$在$[\frac{1}{2}，1]$上有解，
令y=$-{x}^{3}+\frac{3}{2}x$．則y′=$-{3x}^{2}+\frac{3}{2}$，
令y′=0，則x=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故當(dāng)x∈$[\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$時(shí)，y′＞0，函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$時(shí)，y′＜0，函數(shù)為減函數(shù)，
故當(dāng)x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)，y=$-{x}^{3}+\frac{3}{2}x$取最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故當(dāng)x=1時(shí)，y=$-{x}^{3}+\frac{3}{2}x$取最小值$\frac{1}{2}$，
則a的取值范圍是$[\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，故④正確；
故正確的命題的序號(hào)是：①④，
故答案為：①④

點(diǎn)評 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．