Question

（本小題滿分15分）已知點(diǎn)，一動(dòng)圓過點(diǎn)且與圓內(nèi)切．
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任一點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)距離的最大值；
（Ⅲ）在的條件下，設(shè)△的面積為（是坐標(biāo)原點(diǎn)，是曲線上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)），以為邊長的正方形的面積為．若正數(shù)滿足，問是否存在最小值，若存在，請求出此最小值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）存在最小值

解：（Ⅰ）設(shè)圓心坐標(biāo)為，則動(dòng)圓的半徑為，
又動(dòng)圓與內(nèi)切，所以有化簡得
所以動(dòng)圓圓心軌跡C的方程為． ………………………………4分
（Ⅱ）設(shè)，則
，令，，所以，
當(dāng)，即時(shí)在上是減函數(shù)，；
當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，則；
當(dāng)，即時(shí)，在上是增函數(shù)，．
所以， ．…………………………………………9分
（Ⅲ）當(dāng)時(shí),,于是,,
若正數(shù)滿足條件，則，即，
，令，設(shè)，則，，
于是，
所以，當(dāng)，即時(shí)，，
即，．所以，存在最小值．………………………………14分