Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）的左焦點為F，右頂點為A，動點M為右準線上一點（異于右準線與x軸的交點），設(shè)線段FM交橢圓C于點P，已知橢圓C的離心率為，點M的橫坐標為．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設(shè)直線PA的斜率為k₁，直線MA的斜率為k₂，求k₁•k₂的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知解得．由此可知橢圓C的標準方程為．
（2）設(shè)點P（x₁，y₁）（-2＜x₁＜3），點M，由點F、P、M三點共線，知點M．k₁•k₂==．由此可導出k₁•k₂的取值范圍是．
解答：解：（1）由已知，得（2分）
解得∴（4分）
∴橢圓C的標準方程為；（6分）
（2）設(shè)點P（x₁，y₁）（-2＜x₁＜3），
點M，∵點F、P、M三點共線，x₁≠-2，
∴，，∴點M．（8分）
∵，，
∴k₁•k₂==．（10分）
∵點P在橢圓C上，∴，∴．
∴k₁•k₂===．（12分）
∵-2＜x₁＜3，∴．∴k₁•k₂的取值范圍是．（14分）
點評：本題考查直線的圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認真審題，仔細解答．