Question

19．已知圓O：x²+y²=4，圓M：（x-8）²+（y-6）²=4，在圓M上任取一點P，向圓O作切線PA，PB，切點為A，B，則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值為（　�。�

• A． $-\frac{5}{2}$
• B． $-\frac{9}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $-\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 設∠AOP=α，則可求cos∠AOB=$\frac{8}{O{P}^{2}}$-1，利用$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cos∠AOB=$\frac{32}{O{P}^{2}}$-4，結合|OP|_min=10-2=8，即可計算得解$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$的最大值．

解答 解：設∠AOP=α，
則∠AOP=∠BOP，∠AOB=2α，
∴cos∠AOB=2cos²α-1=$\frac{8}{O{P}^{2}}$-1，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OB}$|cos∠AOB=$\frac{32}{O{P}^{2}}$-4，
∵|OP|_min=10-2=8，
∴（$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$）_max=-$\frac{7}{2}$．
故選：D．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查向量知識的運用，利用直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑是解題的關鍵，屬于中檔題．