Question

已知二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，3），且函數(shù)y=f（x-

1

2

）是偶函數(shù)，問：函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點，其橫坐標是正整數(shù)，縱坐標使一個完全平方數(shù)？如果存在，請求出；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知條件推導出f（x）=x²+x+1，若y=f（x）上存在符合要求的點，設(shè)為P（m，n²），則m²+m+1=n²，由此推導出函數(shù)y=f（x）的圖象上不存在這樣的點，其橫坐標是正整數(shù)，縱坐標使一個完全平方數(shù)．

解答： 解：∵二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c，
函數(shù)y=f（x-

1

2

）是偶函數(shù)，
∴二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的對稱軸x=-

b

2

=-

1

2

，
解得b=1，
∵二次函數(shù)f（x）=x²+bx+c的圖象經(jīng)過點（1，3），
∴1+b+c=3，
解得c=1，∴f（x）=x²+x+1，
若y=f（x）上存在符合要求的點，設(shè)為P（m，n²），其中m為正整數(shù)，n為自然數(shù)，
則m²+m+1=n²，
∴4n²=（2m+1）²+3，即[2n+（2m+1）][2n-（2m+1）]=3，
∵3是質(zhì)數(shù)，且2n+（2m+1）＞2n-（2m+1），2n+（2m+1）＞0，
∴

2n+(2m+1)=3 2n-(2m+1)=1

，
解得n=1．m=0，不成立，
∴函數(shù)y=f（x）的圖象上不存在這樣的點，其橫坐標是正整數(shù)，縱坐標是一個完全平方數(shù)．

點評：本題考查滿足條件的點的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二次函數(shù)的性質(zhì)的合理運用．