已知過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F的弦AB的中點(diǎn)M，求M到x+2y+4=0的最短距離．
考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：先求M點(diǎn)的軌跡方程，也是拋物線，再平移直線x+2y+4=0與M的軌跡方程相切，切點(diǎn)到直線x+2y+4=0的距離即為所求．
解答： 解：設(shè)過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F（2，0）的弦AB的方程為x-2=my，
則x=my+2，代入y2=8x得：y2-8my-16=0，
故弦AB的中點(diǎn)M的綜坐標(biāo)為：
1
2
×8m=4m，
代入x=my+2得x=4m2+2，
∴故弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為：（4m2+2，4m），
故弦AB的中點(diǎn)M的軌跡方程為：y2=4（x-2），
令x+2y+c=0與y2=4（x-2）相切，
則y2=-4（2y+c+2），即y2+8y+4c+8=0的△=64-16c-32=0，
解得c=2，
聯(lián)立
x+2y+2=0
y2=4(x-2)
得：
x=6
y=-4

由（6，-4）到x+2y+4=0的距離d=
|6-4×2+4|
12+22
=
2
5
5
，
可得M到x+2y+4=0的最短距離為
2
5
5
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離，難度中檔．
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．

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1
2
）是偶函數(shù)，問(wèn)：函數(shù)y=f（x）的圖象上是否存在這樣的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)是正整數(shù)，縱坐標(biāo)使一個(gè)完全平方數(shù)？如果存在，請(qǐng)求出；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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x-1
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（2）a=0時(shí)，求證：函數(shù)f（x）是增函數(shù)；  
（3）若函數(shù)f（x）是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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