Question

一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上的一點(diǎn)A₁的正上方有一個(gè)光源A，AA₁與球相切，AA₁=6，球在桌面上的投影是一個(gè)橢圓，則這個(gè)橢圓的離心率等于（ ）

A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題意作出過圓錐的軸與橢圓長軸AA₁的截面，可得直角三角形AOA₁，在此三角形中利用切線長定理，利用三角形的面積等式求出A₁A₂，再根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，求出橢圓的參數(shù)a、c，即可求出橢圓的離心率．
解答：解：如圖是過錐體的軸與橢圓長軸A₁A₂的截面，根據(jù)圓錐曲線的定義，
可得球與長軸A₁A₂的切點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)F，AA1⊥A₁A₂
設(shè)光線AA₁與球相切于點(diǎn)E，AA₂與球相切于點(diǎn)D，
且AF等于內(nèi)切圓的半徑也即球的半徑，即A₁E=A₁F=2，
AA₁=6，
根據(jù)切線長定理得：A₁E=A₁F=2，AE=AD=AA₁-A₁E=4，
設(shè)FA₂=x，由三角形面積公式得：
（AA₁+A₁A₂+AA₂）r=AA₁•AA₂
∴（2+x+6+4+x）=×6×（2+x），
⇒x=6，
∴A₁A₂=8
根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，得長軸A₁A₂=2a=8，⇒a=4，
AF是焦點(diǎn)到長軸頂點(diǎn)的距離AF=a-c=2
∴c=2，
∴
所以所求橢圓的離心率為
故選A．
點(diǎn)評：本題以中心投影及中心投影作圖法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，同時(shí)考查了橢圓的基本量，屬于中檔題．深刻理解空間位置關(guān)系和橢圓的定義與性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．